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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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8. Calcular las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes:
a) ∫xe2xdx\int x e^{2 x} d x

Respuesta

Aclaración por las dudas: Para encarar este ejercicio es clave que primero hayas visto la clase de Partes! 

Para resolver esta integral:

∫xe2xdx\int x e^{2 x} d x

efectivamente vamos a aplicar el método de integración por partes. Recordemos que la fórmula de partes nos decía que:

∫f′⋅g=f⋅g−∫f⋅g′ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g'

Vamos a tomar:

g=x⇒g′=1g = x \Rightarrow g' = 1
f′=e2x⇒f=∫ e2x dx= e2x2f' = e^{2x} \Rightarrow f = \int e^{2x} \, dx = \frac{e^{2x}}{2}

Aclaración: La integral ∫ e2x\int e^{2x} sale por sustitución tomando u=2xu = 2x

Reemplazamos ahora en la fórmula de partes:

∫xe2xdx= e2x2⋅x−∫ e2x2 dx\int x e^{2 x} d x = \frac{e^{2x}}{2} \cdot x - \int \frac{e^{2x}}{2} \, dx

∫xe2xdx= e2x2⋅x−12∫ e2x dx\int x e^{2 x} d x = \frac{e^{2x}}{2} \cdot x - \frac{1}{2} \int e^{2x} \, dx

∫xe2xdx= e2x2⋅x−12 e2x2+C\int x e^{2 x} d x = \frac{e^{2x}}{2} \cdot x - \frac{1}{2} \frac{e^{2x}}{2} + C

∫xe2xdx= e2x2⋅x−e2x4+C\int x e^{2 x} d x = \frac{e^{2x}}{2} \cdot x - \frac{e^{2x}}{4} + C

Y listo, este es el resultado de la integral :)
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